Mündl. Kündigung vs. spätere fälschlich versendete schriftliche Kündigung (non-GAV Personalverleih)?

Guten Tag zusammen

Ich wäre sehr dankbar für Input zum folgenden Fall:

• Personalverleih (non-GAV; 42h/Woche im Vertrag mit Stundensatz >100 CHF)
• Mitarbeiter war seit April beim Kunden
• Am 31. Juli um 20 Uhr haben wir eine Mail des Kunden erhalten, dass sie den Auftrag kündigen bzw. die Stunden drastisch reduzieren werden (zeitlich sehr spät für eine Kündigung, allerdings wollen wir hierüber nicht mit dem Kunden diskutieren); der Kunde hatte dies mit dem Mitarbeiter bereits angesprochen
• Kündigungsfrist im Einsatzvertrag zu dem Zeitpunkt: 1 Monat (auf Monatsende); im Rahmenarbeitsvertrag sind zudem Kündigungsfristen erwähnt für den Fall, dass im Einsatzvertrag hierzu keine Regelung steht (zw. 4. und 6. Anstellungsmonat: 7 Tage)
• Wir haben umgehend mit dem Mitarbeiter gesprochen und die mündliche Kündigung ausgesprochen; dann haben wir ihm alternative Projekte bzw. Festanstellungen angeboten (von diesen hat er einige abgelehnt) Nun der Teil, der es schwierig macht: auf Grund interner Miskommunikation wurde Ende August ohne Absprache mit dem Mitarbeiter noch ein Aufhebungsvertrag gesendet, den der Mitarbeiter nicht unterzeichnet hat. Weiterhin wurde dann am 21. September eine Kündigung auf den 28. September mit einer Frist von 7 Tagen versendet (dies war nicht korrekt, da die richtige Frist ein Monat betragen hätte gemäss Einsatzvertrag). Mitarbeiter ist seit einiger Zeit nun privat im Ausland und renoviert sein Haus; ist kaum bzw. nicht für uns erreichbar; hat seine Leistungen auch nicht mehr proaktiv angeboten

Nun hat sich der Mitarbeiter beim RAV gemeldet, welches nun auf uns zugekommen ist und meint, wir müssten noch den vollen Lohn für den Oktober zahlen (auf Grund der gesendeten Kündigung mit falscher Frist vom 21.09.).

Wir gingen jedoch davon aus, dass die mündliche Kündigung gilt und durch die Suche nach einer neuen Stelle ein eindeutiges konkludentes Verhalten vorlag, dass das Projekt gekündigt wurde. Der Aufhebungsvertrag und die schriftliche Kündigung waren ein interner Fehler.

Wie schätzen unsere Experten hier den Sachverhalt ein?